Древнегреческий философ Зенон, живший в V веке до н. э., построил несколько парадоксальных рассуждений — апорий, которые озадачили его сверстников и продолжают озадачивать многих наших современников. Быстроногий Ахиллес, утверждал Зенон, никогда не догонит медлительную черепаху. Пусть Ахиллес способен двигаться в 2 раза быстрее черепахи. За то время, пока Ахиллес покроет отделяющее его от черепахи расстояние, черепаха отползет на половину этого расстояния. Пробежит Ахиллес половину, а черепаха отползет еще на одну четверть, и так далее до бесконечности.
Какие рассуждения можно услышать сегодня по поводу этой апории Зенона? Наш повседневный опыт утверждает, говорят одни, что тот, кто движется быстрее, обязательно догонит того, кто движется медленнее. Поэтому нечего тратить время на пустяки.
Любители точных расчетов вооружаются цифрами. Черепаха проползает сначала половину, потом четверть, йотом одну восьмую и так далее расстояния, равного тому, которое первоначально отделяло ее от Ахиллеса. Примем это расстояние за единицу. Сумма дробей: одна вторая, плюс одна четвертая, плюс одна восьмая, плюс и т. д. (ее называют суммой ряда) стремится к пределу, равному единице. Следовательно, пока продолжаются все эти рассуждения, черепаха неуклонно приближается к точке, отстоящей на единицу от первоначального положения. За те же последовательные промежутки времени Ахиллес пробежит сначала единицу расстояния, затем еще половину, затем одну четвертую и т. д. Вся сумма стремится к пределу, равному двум. Точка, отстоящая на две единицы расстояния от точки старта Ахиллеса и на одну единицу расстояния от точки старта черепахи, и есть та точка, где соперники встретятся, если, конечно, они движутся в одну и ту же сторону. На первый взгляд два приведенных мнения подтверждают одно другое. Но не тут-то было! Ничего подобного, говорят третьи, наш повседневный опыт не оставляет сомнений: никому и ни при каких условиях не удается совершить бесконечное количество движений (рассматриваемые нами суммы состояли из бесконечного числа слагаемых). А пока количество движений остается конечным, хоть и сколь угодно большим, между Ахиллесом и черепахой останется некоторое, хоть и безгранично малое, расстояние. Так что до сих пор еще не разрешена до конца эта апория Зенона.
Попробуем разобраться сами. Построение Зенона основано на предположении о том, что расстояние можно бесконечно делить пополам. На научном языке это звучит как предположение об однородности и непрерывности пространства. Наш повседневный опыт, казалось бы, подтверждает это. Действительно расстояние в 1 метр всегда можно поделить на два отрезка по 0,5 метра. Человек с хорошим зрением может разделить пополам отрезок длиной примерно в 1/10 миллиметра. Вооружившись электронным микроскопом, можно оперировать с расстояниями порядка одной миллионной доли сантиметра.
Ну а дальше? Если говорить, повседневном опыте, то он подсказывает нам следующее. Метр поделить можно, сантиметр — можно, миллиметр — можно, микрометр — можно. Значит, можно поделить любое другое сколь угодно малое расстояние. Так рассуждал Зенон около 2500 лет тому назад. Так рассуждает и большинство из нас. Здесь-то и затаилась опасность серьезной ошибки.
Природа не всегда следует подобным схемам. Не надо далеко ходить за примерами — взять ту же скорость: один метр в секунду можно удвоить, километр в секунду — можно, тысячу километров в секунду — можно, сто тысяч километров в секунду — можно, двести тысяч. Стоп! В природе не бывает скоростей, больших, чем примерно триста тысяч километров в секунду, т. е. больших скорости света.
Как в этом смысле обстоит дело с расстояниями, мы не знаем. Теоретически можно оперировать с отрезками длиной порядка 10~23 сантиметра. Бывают ли более короткие расстояния? Неизвестно.
Вот и ответ на рассуждения Зенона. Они справедливы, впрочем, в той же степени, как и рассуждения современных математиков, лишь до тех пор, пока после очередного деления пополам расстояние не станет меньше 10~23 сантиметра. Дальше просто нельзя рассуждать о том, чего не знаешь. Современный ученый скажет, что задача Зенона некорректна.
Некорректна апория об Ахиллесе и черепахе и по другой причине. Согласно теории относительности, которая, кстати, тоже наделала много хлопот нашему повседневному опыту, расстояние зависит от скорости. Ахиллес видит перед собой одно, а судья, выносящий решение об исходе состязания с черепахой,— другое. В таких условиях вообще вопрос: догонит или не догонит? — ставить бессмысленно.